2end"Ordre"

**selsabil** · Admin Posts: 9 Join date: 2008-12-03 Age: 17

I. définition et propriétés
Définition :
Soit x un réel, on appelle valeur absolue de x notée |x| le nombre positif défini par :
* |x| = x si x

0
* |x| = -x si x

0

Propriétés :

*|-x|=|x|
*

(x²) = |x|
* |xy| = |x| × |y|
* |x/y| = |x|/|y| si y

0

Inégalité du Triangle :

|x y|

|x| |y|

Propriétés :

Soit a > 0 et x réel, alors :
* |x| = a

x = a ou x = -a
* |x|

a

S = [-a; a]
* |x| > a

S =

II. Encadrements
Définition :
Réaliser l'encadrement d'un nombre x quelconque, c'est trouver deux nombres a et b tels que a

x

b
L'amplitude de l'encadrement est c = b - a
Valeur Approchée :

Soient a et x deux nombres et e > 0. Alors a est une valeur approchée de x (ou approximation) à e près (ou à la précision e près) quand |x - a|

e
Définition :
Soient a et x deux réels et e > 0,
* a est une valeur approchée de x à e près par défaut si a

x

a e
* a est une valeur approchée de x à e près par excès si a - e

x

a
Propriétés :
* Soit x tel que a

x

b, une valeur approchée de x est c = (a b)/2. La précision est e = (b - a)/2 et c est une valeur approchée de x à e près soit : |x - c|

e.
* Si x tel que a

x

b et que c

a

b

d alors on a : c

a

x

b

d
* Si x tel que a

x

b, un majorant de |x| est le plus grand nombre en valeur absolue |a| ou |b|.

III. Rappels sur les distances
Définition :
La distance entre deux points A(x_A) et B (x_B) se calcule par :
d(A,B) = |x_B - x_A| (ou (|x_A - x_B|).
Propriétés :
On a les équivalences suivantes :

* d(x, a)

r
* |x - a|

r
* a - r

x

a r
* x

[a - r; a r]