I. Rappels

Propriétés du carré d'un nombre réel :
Le carré d'un nombre réel est positif ou nul, c'est-à-dire : quel que soit le nombre réel x, x²0.
Deux nombres réels opposés ont même carré, c'est-à-dire : quel que soit le nombre réel x, (-x)² = x².
Produits remarquables : Quels que soient les nombres réels a et b,
(a b)² = a² 2ab b²
(a - b)² = a² - 2ab b²
(a - b)(a b) = a² - b²

II. Fonction carré


Définition : La fonction carré f est définie sur par : f(x) = x².

Propriété : La fonction carré est décroissante sur ]-; 0] et croissante sur [0 ; [.
La fonction carré présente un minimum égal à 0 en 0.
Son tableau de variations est le suivant :

La courbe représentative de la fonction carrée est la suivante :

Définition : Dans un plan muni d'un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonction carré est une courbe appelée parabole.
L'origine du repère est le sommet de cette parabole.
Propriété : La représentation graphique de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

III. Fonction inverse
Définition : La fonction inverse f est définie pour tout nombre réel différent de 0 par : f(x) = .
La fonction inverse est définie sur \{0} ou sur *.
Propriété : La fonction inverse est décroissante sur ]-; 0[ et décroissante sur ]0 ; [.
Son tableau de variations est le suivant :

Dans le tableau de variations, la double-barre sous 0 indique que la fonction n'est pas définie en 0.
La courbe représentative de la fonction inverse est la suivante :

Propriété : Dans un plan muni d'un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonction inverse est une courbe appelée hyperbole.
La représentation graphique de la fonction inverse est symétrique par rapport à l'origine du repère.

I. Fonctions paires

Soit une fonction f définie sur D_f. On dit que f est paire si :
D_f est symétrique par rapport à 0;
pour tout xD_f, f(-x) = f(x)

Exemples :
La fonction cosinus est paire [pour tout x réel, cos(-x) = cos x].
La fonction carrée est paire [pour tout x réel, (-x)² = x²].

Interprétation graphique :



Le graphe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.



II. Fonctions impaires

Soit une fonction f définie sur D_f. On dit que f est impaire si :
D_f est symétriue par rapport à 0;
pour tout xD_f, f(-x) = -f(x)

Exemples :


La fonction sinus est impaire [pour tout x réel, sin(-x) = -sin x].
La fonction inverse est impaire [pour tout x réel non nul, 1/(-x) = -(1/x)]

Interprétation graphique :



Le graphe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.



III. Fonctions ni paires, ni impaires

Une fonction f peut être ni paire ni impaire.

Exemple :
La fonction f(x) = 1/(x 3) n'est ni paire ni impaire

I. Rappels et vocabulaire

Soit une fonction f définie sur l'intervalle de définition D_f.





Prenons un point a quelconque de D_f. On dit que :
f(a) est l'image de a par la fonction f.
a est un antécédent de f(a) par la fonction f.





Chaque point de l'intervalle de définition a une et une seule image, tandis qu'un point de l'ensemble image peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédent(s).

II. Sens de variation





a,b I,a < b alors f(a) - f(b) 0
Une fonction est dite croissante sur un intervalle I si :
Pour tout a et b appartenant à I, avec a < b on a f(a) f(b).
Cela revient donc à voir si f(b) - f(a) 0.

Une fonction sera dite décroissante sur I si :
Pour tout a et b appartenant à I, avec a < b on a f(a) f(b).
Cela revient donc à voir si f(b) - f(a) 0.

Remarque : en remplacant les signes et par des inégalités strictes, on obtient les définitions de fonctions strictement croissantes ou décroissantes ( = pas de palier ).